Algebraische Geometrie by Daniel Plaumann PDF

By Daniel Plaumann

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LM(gs ) teilbar. Dann setzen wir ̃ f = f − LT( f ) und es gilt wieder δ( ̃ f ) < δ( f ). ̃ Ist die Aussage für f richtig, dann haben wir also eine Darstellung s ̃ f = ∑ q̃i g i + ̃ r i= mit Polynomen q̃i , ̃ r derart, dass die Eigenschaften (1) und (2) erfüllt sind. Daraus erhalten wir nun die Aussage für f : Falls wir im ersten Fall (i) sind, dann setzen wir q j = t + q̃j , q i = q̃i für i ≠ j und r = ̃ r . Aussage (2) bleibt richtig wegen δ( ̃ f ) < δ( f ) und δ(q j g j ) = δ(tg j + q̃j g j ) ⩽ max{δ(tg j ), δ(q̃j g j )} = δ( f ) (denn es ist δ(tg j ) = δ( f ) und δ(q̃j g j ) < δ( ̃ f ) < δ( f )).

R. Setze außerdem pr+ = . Die Voraussetzung δ(∑ri= a i g i ) < α bedeutet gerade ∑ri= a i b i = . Es folgt r r r i ∑ a i g i = ∑ a i b i p i = ∑(∑ a j b j )(p i − p i+ ) i= i= r− i= j= i = ∑(∑ a j b j )(p i − p i+ ). i= j= Die letzte Gleichheit benutzt dabei ∑ri= a i b i = . Die S-Polynome sind gerade b j x α gi − bi x α g j = b j g i − b i g j = b i b j (p i − p j ), S(g i , g j ) = xα womit das Lemma bewiesen ist. 21 (Buchberger-Kriterium). Es sei (g , . . , gs ) eine Folge von Polynomen ≠ .

X n ] = I gilt. 25. Zeigen Sie, dass das Radikal eines Ideals wieder ein Ideal ist. 26. Es sei V ⊂ A die Vereinigung der drei Koordinatenebenen und W ⊂ A die Vereinigung der drei Koordinatenachsen. Zeigen Sie I(V ) = ⟨x yz⟩ und I(W) = ⟨x y, yz, xz⟩. 27. Seien f , g ∈ k[x , . . , x n ]. Zeigen Sie: (a) Genau dann ist f reduziert, wenn ⟨ f ⟩ ein Radikalideal ist. (b) Genau dann gilt V( f ) ⊂ V(g), wenn g eine Potenz von f teilt. 28. Sei R ein Ring und seien I und J Ideale in R. Zeigen Sie: √ √ √ √ √ √ √ √ I = I; (b) I ∩ J = I ∩ J; (c) IJ = I ∩ J; (d) I = ⟨⟩ ⇔ I = ⟨⟩.

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by Kevin
4.4

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