Get Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten PDF

By Wolfgang Lück

ISBN-10: 3322802418

ISBN-13: 9783322802415

ISBN-10: 3528032189

ISBN-13: 9783528032180

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Sei a ein singuliires n-Simplex. Dann gibt es eine positive ganze Zahl k derart, dass jedes singuliire p-Simplex der Kette (Bp)k(a) in einer der Mengen Ui enthalten ist. 30. (Baryzentrische Unterteilung und offene Uberdeckung). Sei U = {Ui liE I} eine Uberdeckung von X derart, dass {Ui liE I} eine offene Uberdeckung von X ist. Ein singuUires p-Simplex heif3t U-klein, falls sein Bild in einer der Mengen Ui enthalten ist. Die von U-kleinen singularen Simplices aufgespannten R-Untermoduln liefern einen R-Unterkettenkomplex c~ (X; R) ~ c~ing(X; R).

15 (CW-Strukturen auf Tori). Sei Td der d-dimensionale Torus. Er ist das Produkt von d-Kopien von Sl. 13 mit genau (~) vielen k-Zellen fUr k = 0,1, ... , d. Wir erwahnen den folgenden Satz. Er zeigt im Wesentlichen, dass es keine Rolle spielt, ob man zellulare Abbildungen oder allgemeiner Abbildungen von CW-Komplexen betrachtet. Seinen Beweis findet man beispisweise in [2], [12], [14], [27], [32], [36], [38] und [40]. 16 (Zelluliirer Approximationsatz). Sei f: (X, A) -+ (Y, B) eine Abbildung von Paaren von CW -Komplexen, deren Einschriinkung auf A eine zelluliire Abbildung A -+ B induziert.

Das bedeutet aber, dass dieser Zykel bereits in (X - A, B - A) lebt und damit ein Element in H~ing(x - A, B - A) definiert, das unter H~ing(i) das gegebene Element in H~ing(x, B) trifft. Das beweist Surjektivitat. Ein analoges Argument angewandt auf ein berandendes singulares (n + I)-Simplex liefert die Injektivitat. Urn den genauen Beweis zu erklaren, bedarf es einiger Vorbereitungen. h. von der Gestalt [V1, V2, ... 17). Fur v E ~q sei va das affine singulare (p + I)-Simplex [v,v1, ... ,vp+d. Sei Ap(~q; R) ~ C~ing(~q; R) der von den affinen singularen p-Simplices ~p -+ ~q erzeugte R- U ntermodul.

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Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Lück


by George
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